题目内容

精英家教网已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则
OA/
AA/
+
OB/
BB/
+
OC/
CC/
=1，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：
OA/
AA/
+
OB/
BB/
+
OC/
CC/
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OCA
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=
S△ABC
S△ABC
=1．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．
分析：先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明．
解答：解：猜想：若O四面体ABCD内任意点，AO，BO，CO，DO并延长交对面于A′，B′，C′，D′，则
OA/
AA/
+
OB/
BB/
+
OC/
CC/
+
OD/
DD/
=1．
用“体积法”证明如下：
OA/
AA/
+
OB/
BB/
+
OC/
CC/
+
OD/
DD/

=
VO-BCD
VA-BCD
+
VO-CAD
VB-CDA
+
VO-ABD
VC-ABD
+
VO-ABC
VD-ABC

=
VABCD
VABCD
=1
点评：本题考查类比推理，是一个基础题，这种题目的解题的关键是要根据所给的定理类比出可能的定理，后面再进行证明．
练习册系列答案
相关题目
已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的
重心
重心
．
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的______．
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式=[（1-λ）+（1-λ）+（1+2λ）]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的    ．
已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网