Question

20．若点M是以椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的短轴为直径的圆在第一象限内的一点，过点M作该圆的切线交椭圆E于P，Q两点，椭圆E的右焦点为F₂，则△PF₂Q的周长是6．

Answer 1

分析 方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用韦达定理和弦长公式，结合直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，可得周长；
方法二、设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用椭圆的焦半径公式和勾股定理，化简整理即可得到所求周长．

解答 解：根据题意作出图形如图所示，
方法一、设直线PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
有△=（18km）²-4（8+9k²）（9m²-72）=288（9k²-m²+8）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}$，
∴$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-18km}{{8+9{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{9{m^2}-72}}{{8+9{k^2}}}}$
=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4×9×8（9{k^2}-{m^2}+8）}}{{{{（8+9{k^2}）}^2}}}}$．
∵直线PQ与圆x²+y²=8相切，
∴$\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，即$m=\sqrt{8（1+{k^2}）}$，
∴$|{PQ}|=-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}$，
∵$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}-2）}^2}+y_1^2}$=$\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}$=$\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}$，0＜x₁＜3，
∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，同理$|{Q{F_2}}|=3-\frac{x_2}{3}$，
∴|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=6-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$-$\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$=$6+\frac{6km}{{8+9{k^2}}}-\frac{6km}{{8+9{k^2}}}=6$，
因此，△PF₂Q的周长是定值6．
方法二：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$=1，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}$=$\sqrt{（\frac{{x}_{1}}{3}-3）^{2}}$，0＜x₁＜3，
∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，又M是圆O的切点，连接OP，OM，
∴$|{PM}|=\sqrt{{{|{OP}|}^2}-{{|{OM}|}^2}}$=$\sqrt{x_1^2+y_1^2-8}$$\sqrt{x_1^2+8（1-\frac{x_1^2}{9}）-8}$=$\frac{1}{3}{x_1}$，
∴$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，
同理|QF₂|+|QM|=3，
∴|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=3+3=6，
因此，△PF₂Q的周长是定值6．
故答案为：6．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．