题目内容
4．经过原点的直线与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A、B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．（1）求椭圆C的离心率；
（2）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以|MN|为直径的圆内部，求k的取值范围．
分析 （1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），代入椭圆方程得$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，由直线PA、PB的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，得到$\frac{{b}^{2}}{{{a}^{2}}_{\;}}$=$\frac{1}{4}$，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，从而$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，c=$\sqrt{3}b$，焦点F1（-$\sqrt{3}b$，0），设MN：y=k（x-$\sqrt{3}b$），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}b）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}bx+12{k}^{2}{b}^{2}-4{b}^{2}=0$，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出k的取值范围．
解答 解：（1）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵${k}_{PA}•{k}_{PB}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{{a}^{2}}_{\;}}$=$\frac{1}{4}$，
∴椭圆C的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{a2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，c=$\sqrt{3}b$，焦点F1（-$\sqrt{3}b$，0），
设MN：y=k（x-$\sqrt{3}b$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}b）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}bx+12{k}^{2}{b}^{2}-4{b}^{2}=0$，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}b}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}{b}^{2}-4{b}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，
${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}（{x}_{1}-\sqrt{3}b）（{x}_{2}-\sqrt{3}b）$=${k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}b（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{b}^{2}]$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$＜0，
∴（x1+$\sqrt{3}b$，y1）•（${x}_{2}+\sqrt{3}b$，y2）=（${x}_{1}+\sqrt{3}b{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}b$）+y1y2
=${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}b（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{b}^{2}$+${k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}b（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{b}^{2}]$
=（1+k2）x1x2-$\sqrt{3}b$（x1+x2）（1-k2）+3b2（1+k2）
=$\frac{（1+{k}^{2}）（12{k}^{2}{b}^{2}-4{b}^{2}）}{4{k}^{2}+1}$+$\frac{24{k}^{2}{b}^{2}（1-{k}^{2}）}{4{k}^{2}+1}$+$\frac{-3{b}^{2}（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$＜0，
∴（1+k2）（12k2-4）+24k2（1-k2）+3（1+k2）（4k2+1）＜0，
整理，得${k}^{2}＜\frac{1}{47}$，解得k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{47}}{47}，\frac{\sqrt{47}}{47}$）．
点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查实数的取值范围求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用．
如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$有相同的焦点，且椭圆C过点P（2，1），若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．| A． | y=lnx3 | B． | y=-x2 | C． | y=-$\frac{1}{x}$ | D． | y=x|x| |
已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，
如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（ ）| A． | $\frac{M}{2017}$ | B． | $\frac{2017}{M}$ | C． | $\frac{4M}{2017}$ | D． | $\frac{2017}{4M}$ |