题目内容
给出下列四个命题：
①命题?x2＞1，x＞1的否定是?x2≤1，x≤1；
②函数f(x)=
(a＞0且a≠1)在R上单调递减；
③设f（x）是R上的任意函数，则f（x）+f（-x）是偶函数；
④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f(x-2)=-
，则f（x）为周期函数；
⑤已知幂函数f（x）=xα的图象经过点(2，
)，则f（4）的值等于
其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）．
①命题?x2＞1，x＞1的否定是?x2≤1，x≤1；
②函数f(x)=
| ax-1 |
| ax+1 |
③设f（x）是R上的任意函数，则f（x）+f（-x）是偶函数；
④定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f(x-2)=-
| 4 |
| f(x) |
⑤已知幂函数f（x）=xα的图象经过点(2，
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
其中真命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①写出命题?x2＞1，x＞1的否定，可判断①；
②由于函数f（x）=
=1-
，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，可知该函数的单调情况，从而可判断②；
③设令h（x）=f（x）+f（-x），利用奇偶函数的概念可判断③；
④由f(x-2)=-
⇒f[（x-2）-2]=-
=f（x），可判断④；
⑤已知幂函数f（x）=xα的图象经过点(2，
)，可求得f（x）=2-
，从而可求f（4）的值，可判断⑤．
②由于函数f（x）=
| ax-1 |
| ax+1 |
| 2 |
| ax+1 |
③设令h（x）=f（x）+f（-x），利用奇偶函数的概念可判断③；
④由f(x-2)=-
| 4 |
| f(x) |
| 4 |
| f(x-2) |
⑤已知幂函数f（x）=xα的图象经过点(2，
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：
-x解：对于①，命题?x2＞1，x＞1的否定是?x2＞1，x≤1，故①错误；
对于②，函数f（x）=
=1-
，
当0＜a＜1时，y=ax+1是减函数，y=
为增函数，故f（x）=
=1-
为减函数；
当a＞1时，y=ax+1是增函数，同理可得f（x）=
=1-
为增函数，故②错误；
对于③，设f（x）是R上的任意函数，令h（x）=f（x）+f（-x），
则h（-x）=f（-x）+f（x）=h（x），
所以f（x）+f（-x）是偶函数，故③正确；
对于④，定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f(x-2)=-
，则f[（x-2）-2]=-
=f（x），
所以f（x）是以4为周期函数，故④正确；
对于⑤，已知幂函数f（x）=xα的图象经过点(2，
)，则
=2α，解得α=-
，
所以f（4）=4-
=
，故⑤正确；
综上所述，③④⑤正确；
故答案为：③④⑤．
对于②，函数f（x）=
| ax-1 |
| ax+1 |
| 2 |
| ax+1 |
当0＜a＜1时，y=ax+1是减函数，y=
| 2 |
| ax+1 |
| ax-1 |
| ax+1 |
| 2 |
| ax+1 |
当a＞1时，y=ax+1是增函数，同理可得f（x）=
| ax-1 |
| ax+1 |
| 2 |
| ax+1 |
对于③，设f（x）是R上的任意函数，令h（x）=f（x）+f（-x），
则h（-x）=f（-x）+f（x）=h（x），
所以f（x）+f（-x）是偶函数，故③正确；
对于④，定义在R上的函数f（x）对于任意x的都有f(x-2)=-
| 4 |
| f(x) |
| 4 |
| f(x-2) |
所以f（x）是以4为周期函数，故④正确；
对于⑤，已知幂函数f（x）=xα的图象经过点(2，
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以f（4）=4-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
综上所述，③④⑤正确；
故答案为：③④⑤．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查命题的否定及幂函数的性质，属于中档题．
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