Question

已知偶函数f（x），对任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1．求：
（1）f（0），f（1），f（2）的值；
（2）f（x）的表达式；
（3）F（x）=[f（x）]²-2f（x）在（0，+∞）上的最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1；同样x₁=0，x₂=1得：f（1）=0；令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）直接根据f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）先求出其解析式，再利用其导函数即可得到在（0，+∞）上的单调性，即而得到最值．

解答： 解解：（1）直接令x₁=x₂=0得：f（0）=-1，
令x₁=1，x₂=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，
∵f（0）=-1，
∴f（1）=0，
令x₁=x₂=1得：f（2）=3；
（2）因为：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，
又f（x）=f（-x），f（0）=-1，
故f（x）=x²-1
（3））∵F（x）=[f（x）]²-2f（x）=x⁴-4x²+3，
∴F′（x）=4x³-8x=4x（x²-2）=4x（x+

2

）（x-

2

）；
∴在（

2

，+∞）上F′（x）＞0，在（0，

2

）上F′（x）＜0
故函数F（x）在[

2

，+∞）上是增函数，在（0，

2

）上为减函数．
当x=

2

时，F（x）_min=-1，F（x）无最大值．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合．解决第一问的关键在于赋值法的应用．一般在见到函数解析式不知道而要求具体的函数值时，多用赋值法来解决．