Question

17．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 可画出图形，连接AC，BD，设交于O点，连接PO，从而可以根据条件得到OB，OC，OP三直线两两垂直，可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求出空间一些点的坐标，从而可得到向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{PD}$的坐标，从而可以求得这两向量夹角的余弦值，从而便可得到异面直线BE与PD所成角的余弦值．

解答 解：如图，连接AC，BD，并交于O点，连接PO，根据题意知，PO⊥底面ABCD；
又底面ABCD为正方形；
∴AC⊥BD；
∴OB，OC，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

根据条件可确定以下几点坐标：A（0，$-\sqrt{2}$，0），$P（0，0，\sqrt{2}）$，$E（0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$B（\sqrt{2}，0，0），D（-\sqrt{2}，0，0）$；
∴$\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}=2+0-1=1$，$|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{3}，|\overrightarrow{PD}|=2$；
∴$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{PD}＞=\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法，能求空间点的坐标，根据点的坐标可以得出向量的坐标，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角余弦的计算公式，清楚异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系．