Question

12．已知函数f（x）=|x-3|-|x+2|．
（1）若不等式f（x）≥|m-1|有解，求实数m的最小值M；
（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=-M，证明：$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$≥3．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得f（x）的最小值，从而求得实数m的最小值M．
（2）由题意可得即 $\frac{3a+b}{4}$=1，故有 $\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{\frac{3（3a+b）}{4}}{b}$+$\frac{\frac{3a+b}{4}}{a}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{9a}{4b}$+$\frac{b}{4a}$，再利用基本不等式证得$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$≥3．

解答 解：函数f（x）=|x-3|-|x+2|表述数轴上的x的对应点到3对应点的距离减去它到-2对应点的距离，
它的最小值为-5，最大值为5，
（1）若不等式f（x）≥|m-1|有解，则5≥|m-1|，即-5≤m-1≤5，求得-4≤m≤6，故实数m的最小值M=-4．
（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=-M=4，即 $\frac{3a+b}{4}$=1，
∴$\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{\frac{3（3a+b）}{4}}{b}$+$\frac{\frac{3a+b}{4}}{a}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{9a}{4b}$+$\frac{b}{4a}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{9a}{4b}•\frac{b}{4a}}$+3=$\frac{3}{2}$+2•$\frac{3}{4}$=3，
即 $\frac{3}{b}$+$\frac{1}{a}$≥3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的能成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．