Question

动曲线Γ₁的初始位置所对应的方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜0），一个焦点为F₁（-c，0），曲线Γ₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＞0）的一个焦点为F₂（c，0），其中a＞0，b＞0，c=

a2+b2

．现将Γ₁沿x轴向右平行移动．给出以下三个命题：
①Γ₂的两条渐近线与Γ₁的交点个数可能有3个；
②当Γ₂的两条渐近线与Γ₁的交点及Γ₂的顶点在同一直线上时，曲线Γ₁平移了（

2

+1）a个单位长度；
③当F₁与F₂重合时，若Γ₁，Γ₂的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，则Γ₁的离心率为3．
其中正确的是（　　）

• A、②③
• B、①②③
• C、①③
• D、②

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：①由已知条件知，Γ₁沿x轴向右平行移动a个单位时，Γ₂的两条渐近线与Γ₁的交点个数为1个，由此利用由椭圆的对称性知Γ₂的两条渐近线与Γ₁的交点个数不可能有3个；②解方程组

y=± b a x x=a

，得Γ₁的移动后的图象过点（a，b），（a，-b）．把y=b代入：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜0），得x=-

2

a，由此求出曲线Γ₁平移了（

2

+1）a个单位长度；③F₁与F₂重合时，Γ₁，Γ₂的公共弦长为

2b2

a

，由此能求出Γ₁的离心率为e=

c

a

=

5

．

解答： 解：①由已知条件知，Γ₁沿x轴向右平行移动a个单位时，
得到

(x-a)2

a2

-

y2

b2

=1，
联立方程组

y=± b a x (x-a)2 a2 - y2 b2 =1

，解得x=y=0，
∴由椭圆的对称性知Γ₂的两条渐近线与Γ₁的交点个数不可能有3个，故①错误；
②∵Γ₂的两条渐近线与Γ₁的交点及Γ₂的顶点在同一直线上，
∴解方程组

y=± b a x x=a

，得Γ₁的移动后的图象过点（a，b），（a，-b）．
把y=b代入：

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜0），得x=-

2

a，
∴曲线Γ₁平移了（

2

+1）a个单位长度，故②正确；
③F₁与F₂重合时，解方程组

(x-2c)2 a2 - y2 b2 =1 x2 a2 - y2 b2 =1

，
得Γ₁，Γ₂的公共弦长为

2b2

a

，
∵Γ₁，Γ₂的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，
∴

2b2

a

=8a，解得b²=4a²，从而c²=5a²，
∴Γ₁的离心率为e=

c

a

=

5

．故③不正确．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的性质的综合应用，解题时要认真审题，注意函数的平移性质的灵活运用．