Question

已知函数f（x）=a^x-1的图象经过点（5，

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），其中a＞0，a≠1
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）=a^2x-a^x-2+8，x∈[-2，1]的值域．

Answer 1

考点：指数函数的单调性与特殊点,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）依题意，f（5）=

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即可求得a=

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；
（2）由于a=

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，故g（x）=a^2x-a^x-2+8=[(

1

2

)x-2]2+4，x∈[-2，1]，(

1

2

)x∈[

1

2

，4]，利用二次函数的单调性质即可求得g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（5）=a^5-1=a⁴=

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，
∴a=

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；
（2）∵a=

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2

，
∴g（x）=a^2x-a^x-2+8=(

1

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)2x-4•(

1

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)x+8=[(

1

2

)x-2]2+4，
∵x∈[-2，1]，
∴(

1

2

)x∈[

1

2

，4]，
∴当x=-1，(

1

2

)x=2时，g（x）取得最小值，为4；
当x=-2，(

1

2

)x=4时，g（x）取得最大值，为8；
∴函数g（x）=a^2x-a^x-2+8，x∈[-2，1]的值域为[4，8]．

点评：本题考查指数函数的单调性与特殊点，着重考查指数函数的值域的确定，属于中档题．