Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是B₁B、AB、BC的中点．
（1）证明：D₁F⊥平面AEG；
（2）求cos＜

AE

，

D1B

＞．

Answer 1

分析：（1）如图以D为原点，DA、DC、DD₁所在的直线分别为x、y、z轴，求出D₁F与EG₁的方向向量，根据向量的数量积为0，两个向量垂直得到D₁F⊥EG，D₁F⊥AE．结合线面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（2）由 由

AE

=（0，a，），

D1B

=（a，a，-a），代入向量夹角公式可得cos＜

AE

，

D1B

＞．

解答：解：以D为原点，DA、DC、DA₁所在的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，设正方体AC₁棱长为a，则D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，

a

2

），
F（a，

a

2

，0），G（

a

2

，a，0）．
（1）

AE

=（0，a，

a

2

），∴

D1F

•

AE

=a×0+

a

2

×a-a×

a

2

=0
∴D₁F⊥AE，
同理D₁F⊥EG
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（2）由

AE

=（0，a，），

D1B

=（a，a，-a）
∴cos＜

AE

，

D1B

＞=

AE • D1B

| AE || D1B|

=

a2- 1 2 a2

a2+ a2 4 • 3a2

=

5

15

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，是立体几何的一个综合考查，难度稍大．