Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是棱AA₁的中点，点O是BD₁的中点，求证：OM是异面直线AA₁，BD₁的公垂线，并求OM的长．

Answer 1

分析：由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，利用向量的知识证明两条直线垂直；通过

OM

的坐标，直接求出模即可得到OM的长．

解答：解：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因为点M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以M（1，0，

1

2

），O（

1

2

，

1

2

，

1

2

），

OM

=（

1

2

，-

1

2

，0），

AA′

=（0，0，1），

BD′

=（-1，-1，1），
∴

OM

•

AA′

=0，

OM

•

BD′

=-

1

2

+

1

2

+0=0
所以OM⊥AA′，OM⊥BD′
又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交，
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；
∵

OM

=（

1

2

，-

1

2

，0），
∴|OM|=

1 4 + 1 4

=

2

2

．

点评：本题主要考查异面直线的垂直的判断，正方体中的距离计算等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，应用向量知识解决数学问题的能力．