题目内容
已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和为Sn，且S3，S2，S4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若bn=log2|an|，（n∈N+），设Tn为数列{
}的前n项和，求证：Tn＜4．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若bn=log2|an|，（n∈N+），设Tn为数列{
| bn+1 |
| |an| |
考点：数列的求和
专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列
分析：（1）由等差数列的性质和等比数列的通项公式，即可求出公比，再由通项公式即可得到；
（2）化简bn，及
，运用数列的求和方法：错位相减法，求出Tn，整理即可得证．
（2）化简bn，及
| bn+1 |
| |an| |
解答：
（1）解：设数列{an}的公比为q，
∵且S3，S2，S4成等差数列，
∴S3+S4=2S2，
即（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2）
∴2a3+a4=0，q=
=-2，
∴an=a1qn-1=（-2）n-1；
（2）证明：|an|=2n-1，bn=log22n-1=n-1，
∴
=
，
∴Tn=
+
+
+…+
---------①
Tn=
+
+…+
+
------②
①-②得，
Tn=
+
+
+…+
-
=
-
=2-
-
∴Tn=4-(
+
)，
∵
+
＞0，
∴Tn＜4．
∵且S3，S2，S4成等差数列，
∴S3+S4=2S2，
即（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2）
∴2a3+a4=0，q=
| a4 |
| a3 |
∴an=a1qn-1=（-2）n-1；
（2）证明：|an|=2n-1，bn=log22n-1=n-1，
∴
| bn+1 |
| |an| |
| n |
| 2n-1 |
∴Tn=
| 1 |
| 20 |
| 2 |
| 21 |
| 3 |
| 22 |
| n |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 21 |
| 2 |
| 22 |
| n-1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
①-②得，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
=
1-
| ||
1-
|
| n |
| 2n |
=2-
| 2 |
| 2n |
| n |
| 2n |
∴Tn=4-(
| 4 |
| 2n |
| 2n |
| 2n |
∵
| 4 |
| 2n |
| 2n |
| 2n |
∴Tn＜4．
点评：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项和求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查基本的运算能力，是一道综合题．
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