题目内容
9．已知数列{cn}的前n项和为Sn，满足2Sn=n（cn+2）．（1）求c1的值，并证明数列{cn}是等差数列；
（2）若${a_n}=\frac{c_n}{2^n}$，且数列{an}的最大项为$\frac{5}{4}$．
①求数列{an}的通项公式；
②若存在正整数x，使am，an，xak成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），则当T（x）=am+an+xak取得最大值时，求x的最小值．
分析 （1）2Sn=n（cn+2），2S1=2c1=c1+2，解得c1=2，n≥2时，2cn=2Sn-2Sn-1．化为：（n-2）cn-（n-1）cn-1+2=0．可得（n-1）cn+1-ncn+2=0，相减可得：2cn=cn+1+cn-1．即可证明．
（2）①设数列{cn}的公差为d，则an=$\frac{（n-1）d+2}{{2}^{n}}$．对d分类讨论，d≤0时舍去，d＞0，an+1-an=$\frac{-（n-2）d-2}{{2}^{n}}$＜0，在n≥2时恒成立，可得a2为最大值．由a2=$\frac{d+2}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，解得d．可得an．
②存在正整数x，使am，an，xak成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），可得2an=am+xak，T（x）=am+an+xak=3an，由①可知：a2最大，首先考察a2．此时xak=2a2-a1．即$x•\frac{3k-1}{{2}^{k}}$=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{3×{2}^{k-1}}{3k-1}$（k≥3）．利用其单调性即可得出．
解答 解：（1）∵2Sn=n（cn+2），∴2S1=2c1=c1+2，解得c1=2，
n≥2时，2cn=2Sn-2Sn-1=n（cn+2）-（n-1）（cn-1+2）．化为：（n-2）cn-（n-1）cn-1+2=0．
∴（n-1）cn+1-ncn+2=0，相减可得：2cn=cn+1+cn-1．
∴数列{cn}是等差数列，首项为2．
（2）①设数列{cn}的公差为d，则an=$\frac{（n-1）d+2}{{2}^{n}}$．
若d≤0，则an=$\frac{（n-1）d+2}{{2}^{n}}$≤a1=1，与已知数列{an}的最大项为$\frac{5}{4}$矛盾．
若d＞0，an+1-an=$\frac{nd+2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{（n-1）d+2}{{2}^{n}}$=$\frac{-（n-2）d-2}{{2}^{n}}$＜0，在n≥2时恒成立，可得a2为最大值．
由a2=$\frac{d+2}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，解得d=3．
∴an=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$．
②∵存在正整数x，使am，an，xak成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），
∴2an=am+xak，
T（x）=am+an+xak=3an，由①可知：a2最大，首先考察a2．
此时xak=2a2-a1=$2×\frac{5}{4}$-1=$\frac{3}{2}$．即$x•\frac{3k-1}{{2}^{k}}$=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{3×{2}^{k-1}}{3k-1}$（k≥3）．
考察3k-1=8，11，14，17，…．
当k=11时，x取得最小值，x=$\frac{3×{2}^{10}}{32}$=96∈N*．
∴当T（x）=am+an+xak取得最大值时，x的最小值为96．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、分类讨论方法、数列的递推关系、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
期末1卷素质教育评估卷系列答案