Question

4．求证双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点P处的切线与与两坐标轴围成的三角形面积为定值．

Answer 1

分析 求得切线方程，分别令x=0，求得B点坐标，当y=0时，求得A点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得与两坐标轴围成的三角形面积为定值．

解答 解：证明：设曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点为P（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），∵y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴在点P处切线的斜率k=-$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$，
∴在P点处的切线方程为y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$（x-x₀）．
令x=0，得y=$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{2}{{x}_{0}}$，则B（0，$\frac{2}{{x}_{0}}$）
令y=0，得x=x₀+x₀²×$\frac{1}{{x}_{0}}$=2x₀，C（2x₀，0），
∴S_△=$\frac{1}{2}$|x|•|y|=2．
故三角形面积为定值2．
过P处的切线与与两坐标轴围成的三角形面积为定值2．

点评 本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题．