Question

已知a、b、c是Rt△ABC的三边，c为斜边，若a²（a+b）+b²（c+a）+c²（b+a）≥kabc恒成立，则k的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：函数的性质及应用,解三角形

分析：在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，依题意，a²（b+c）+b²（c+a）+c²（b+a）≥kabc恒成立?k≤

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(b+a)

abc

=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

，令t=sinA+cosA，求得f（t）=t+

t+1

t2-1 2

=（t-1）+

2

t-1

+1的最小值即可．

解答： 解：依题意，a²（b+c）+b²（c+a）+c²（b+a）≥kabc恒成立?k≤

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(b+a)

abc

对任意a、b、c均成立，
∵△ABC为直角三角形，c为斜边，
∴a=csinA，b=csinB=ccosA，
∴

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(b+a)

abc

=

c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(ccosA+csinA)

c3sinAcosA

=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

，
令t=sinA+cosA，
则t=

2

sin（A+

π

4

），由A∈（0，

π

2

）知，t∈（1，

2

]，
由t=sinA+cosA得：sinAcosA=

t2-1

2

，
则f（t）=t+

t+1

t2-1 2

=t+

2

t-1

=（t-1）+

2

t-1

+1，
∵t∈（1，

2

]，∴t-1∈（0，

2

-1]，
∴由双钩函数的性质可知，当t-1=

2

-1，即t=

2

时，f（t）取得最小值

2

+

2

2 -1

=3

2

+2，
∴k≤3

2

+2，
故k的最大值为3

2

+2，
故答案为：3

2

+2．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，突出考查等价转化思想与换元思想、构造函数思想，考查双钩函数的单调性质，属于难题．