Question

已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）求过点P（0，1）且与曲线C仅有一个公共点的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意化为抛物线的定义，并由此写出的抛物线的方程，
（2）先讨论直线的斜率是否存在，不存在时x=0，再讨论斜率是否是0，从而解出直线方程．

解答： 解：（1）如右图，曲线C上的点D到到点F（1，0）的距离与其到直线x=-1的距离相等，
则曲线C为抛物线，且焦点为F（1，0），准线为x=-1，
则其方程为：y²=4x．
（2）①若过点P（0，1）的直线的斜率不存在，即x=0时，
有且只有一个公共点（0，0），故成立；
②若过点P（0，1）的直线的斜率存在，不妨设为k，
则直线方程可设为y=kx+1，与y²=4x联立得，

y2=4x y=kx+1

，消y得，
（kx+1）²=4x，即：
k²x²+（2k-4）x+1=0，
若k=0，则x=

1

4

，成立，此时直线方程为y=1；
若k≠0，则△=（2k-4）²-4k²=0，
解得，k=1．
综上所述，求过点P（0，1）且与曲线C仅有一个公共点的直线方程有：
x=0，y=1，y=x+1三条．

点评：本题考查了学生的转化能力及作图能力，注意抛物线的定义的变形及直线与圆锥曲线的交点个数时对直线的讨论，属于中档题．