Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=

3

2

an-

n

2

-

3

4

，设bn=log3(an+

1

2

)，则数列{

1

bn•bn+1

}的前19项和为 ______．

Answer 1

令n=1，得到a₁=s₁=

3

2

a₁-

1

2

-

3

4

，解得a₁=

5

2

，
因为s_n=

3

2

a_n-

n

2

-

3

4

①
当n≥2时求出s_n-1=

3

2

a_n-1-

n-1

2

-

3

4

②
用①-②得：a_n=3a_n-1+1，所以代入求得a₂=

17

2

，a₃=

53

2

，a₄=

161

2

，…
所以数列{a_n+

1

2

}为以3为首项，3为公比的等比数列，
所以通项公式为3ⁿ，则b_n=

log

3n3

=n，
数列{

1

bn•bn+1

}的前19项和为：

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b19b20

=

1

1×2

+

1

2×3

+..+

1

19×20

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

18

-

1

19

+

1

19

-

1

20

=

19

20

故答案为

19

20

．