题目内容
若数列{an}的通项an=
,实数p,q满足p>q>0且p>1,sn为数列{an}的前n项和.
(1)求证:当n≥2时,pan<an-1;
(2)求证sn<
(1-
);
(3)若an=
,求证sn<
.
1 |
pn-q |
(1)求证:当n≥2时,pan<an-1;
(2)求证sn<
p |
(p-1)(p-q) |
1 |
pn |
(3)若an=
1 |
(2n-1)(2n+1-1) |
2 |
3 |
分析:(1)利用通项及实数p,q满足p>q>0且p>1,即可证得;
(2)由(1)进行放缩,再求和,即可得到结论;
(3)对通项i型放缩,再利用等比数列的求和公式,即可证得.
(2)由(1)进行放缩,再求和,即可得到结论;
(3)对通项i型放缩,再利用等比数列的求和公式,即可证得.
解答:证明:(1)当n≥2时,pan=
<
=an-1
∴pan<an-1…(2分)
(2)由(1)得an<
an-1<
an-2<…<
a1…(4分)
所以
ai<(
+
+…+
)a1=
(1-
)
所以Sn<
(1-
)…(6分)
(3)an=
<
由(1)得
<
×
<
×
<…<
×
=2×
所以an<
…(8分)
所以Sn<
+(
+
+…+
)<
所以Sn<
…(10分)
1 | ||
pn-1-
|
1 |
pn-1-q |
∴pan<an-1…(2分)
(2)由(1)得an<
1 |
p |
1 |
p2 |
1 |
pn-1 |
所以
n |
i=1 |
1 |
pn-1 |
1 |
pn-2 |
1 |
p |
p |
(p-1)(p-q) |
1 |
pn |
所以Sn<
p |
(p-1)(p-q) |
1 |
pn |
(3)an=
1 |
(2n-1)(2n+1-1) |
1 | ||
2n+1(2n-
|
由(1)得
1 | ||
2n-
|
1 |
2 |
1 | ||
2n-1-
|
1 |
22 |
1 | ||
2n-2-
|
1 |
2n-1 |
1 | ||
2-
|
1 |
2n-1 |
所以an<
2 |
4n |
所以Sn<
1 |
3 |
2 |
42 |
2 |
43 |
2 |
4n |
2 |
3 |
所以Sn<
2 |
3 |
点评:本题考查不等式的证明,考查等比数列的求和公式,考查放缩法的运用,属于中档题.
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