Question

（2012•商丘二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

…，

1

n

，

2

n

，…，

n-1

n

，…有如下运算和结论：
①a₂₄=

3

8

；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为T_n=

n2+n

4

；
④若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=

5

7

．
其中正确的结论是

①③④

．（将你认为正确的结论序号都填上）

Answer 1

分析：①前24项构成的数列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，

2

6

，…，

1

8

，

2

8

，

3

8

，故a₂₄=

3

8

；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，由等差数列定义知：数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=

n2+n

4

；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，即：

n2+n

4

＜10，

(n+1)2+(n+1)

4

≥10，故a_k=

5

7

．

解答：解：①前24项构成的数列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，

2

6

，…，

1

8

，

2

8

，

3

8

，
∴a₂₄=

3

8

，故①正确；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，
由等差数列定义

n-1

2

-

n-2

2

=

1

2

（常数）
所以数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，故②不正确．
③∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差数列，
所以由等差数列前n项和公式可知：Tn=

n2+n

4

，故③正确；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，
即：

n2+n

4

＜10，

(n+1)2+(n+1)

4

≥10，∴k=7，a_k=

5

7

．故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．