Question

（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。
（1）求证：DE//平面ABC；
（2）求二面角E—BC—A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积。

Answer 1

（1）略
（2）二面角E—BC—A的余弦值为
（3）多面体DE—ABC的体积为V=V₁-V₂=

解：方法一：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则

平面ACD平面ABC
平面ABC，作EF平面ABC，
那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，
，易求得
所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；
平面ABC，平面ABC，
平面ABC…………4分
（2）作FGBC，垂足为G，连接FG；
平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC
就是二面角E—BC—A的平面角



即二面角E—BC—A的余弦值为…………8分
（3）平面ACD平面ABC，OBAC
平面ACD；又
平面DAC，三棱锥E—DAC的体积

又三棱锥E—ABC的体积
多面体DE—ABC的体积为V=V₁-V₂=…………12分
方法二：（1）同方法一
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面ABC的一个法向量为，
平面BCE的一个法向量为，所以
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为

（3）同方法一