Question

求下列函数解析式：
（1）已知f（

x

-1）=x+2

x

，求f（x）的解析式；
（2）设二次函数y=f（x）的最小值是4，且f（0）=f（2）=6，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令

x

-1=t，则

x

=t+1，x=（t+1）²，（t≥-1），代入函数的表达式求出即可；
（2）可以根据条件找出抛物线的顶点，利用顶点式设出二次函数的解析式，再用一个点坐标代入，得到二次函数的解析式．

解答： 解：（1）令

x

-1=t，则

x

=t+1，x=（t+1）²，（t≥-1），
∴由f（

x

-1）=x+2

x

，
得：f（t）=（t+1）²+2t=t²+4t+1，（t≥-1），
∴f（x）=x²+4x+1，（x≥-1）．
（2）：∵二次函数y=f（x）满足f（0）=f（2），
∴二次函数y=f（x）图象的对称轴为x=

0+2

2

=1．
又∵二次函数y=f（x）的最小值为4，
∴二次函数y=f（x）图象的顶点坐标为（1，4），开口向上．
∴可设二次函数y=f（x）的解析式为f（x）=a（x-1）²+4（a＞0）．
∵f（0）=6，
∴a=2．
∴f（x）的解析式为f（x）=2x²-4x+6．

点评：本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．