Question

已知a＞0且a≠1.f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性与单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-2，2）时，f（1-m）+f（1-2m）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令log_a^x=t，则x=a^t，可求得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），于是f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）；
（2）利用奇偶函数的定义知，f（-x）=-f（x），从而可知f（x）为奇函数，利用复合函数的单调性易判断当a＞1与0＜a＜1时，f（x）均在R上是增函数，从而可判断f（x）的单调性；
（3）利用函数f（x）为奇函数知，f（1-m）+f（1-2m）＜0?f（1-m）＜f（2m-1），由f（x）为（-2，2）上的增函数知，

1-m＜2m-1 -2＜1-m＜2 -2＜2m-1＜2

，解之即可．

解答： 解：（1）令log_a^x=t，则x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）；
（2）∵f（x）的定义域为R，又f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
当a＞1时，y=a^x在R上是增函数，y=a^-x在R上是减函数．
∴y=-a^-x在R上是增函数，
∴y=a^-x-a^x在R上是增函数，又

a

a2-1

＞0，
∴f（x）在R上是增函数．
当0＜a＜1时，同理可得f（x）在R上是增函数；
综上所述，f（x）在R上是增函数．
（3）∵f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
∵又f（x）为奇函数，
∴f（1-m）＜f（2m-1），
∵又f（x）在（-2，2）上是增函数．
∴

1-m＜2m-1 -2＜1-m＜2 -2＜2m-1＜2

，解得

2

3

＜m＜

3

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数奇偶性与单调性的判定与应用，考查等价转化思想与方程思想、分类讨论思想的综合应用，属于难题．