Question

已知函数f（x）=x³-ax，g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

（1）若对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求实数a的取值范围；
（2）记G(x)=

1

2

x2-

5

2

-g(x)，求证：G(x)＞

1

ex

-

2

ex

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）分离参数a，可得a≤2lnx+

3

x

+x，故问题等价于a≤(2lnx+

3

x

+x)min．利用导数可求得函数2lnx+

3

x

+x的最小值；
（2）化简G（x），则原不等式可化为lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即证 xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，记F（x）=xlnx，H(x)=

x

ex

-

2

e

，则问题进而转化为证明F（x）_min＞H（x）_max，利用导数可求得函数的最值；

解答： 解：（1）原不等式可化为：x3-ax≥2x(

1

2

x2-lnx-

5

2

)-x2+5x-3，化简得：ax≤2xlnx+x²+3，
∵x＞0，故上式可化为a≤2lnx+

3

x

+x恒成立，则问题等价于a≤(2lnx+

3

x

+x)min．
记t(x)=2lnx+

3

x

+x，(x＞0)，t′(x)=

x2+2x-3

x2

，
令t′（x）=0，得x=1，
∵x＞0，∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0，
∴t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
故当x=1时，t（x）有最小值为4，故a≤4，
∴实数a的取值范围是a∈（-∞，4]；
（2）化简得，G（x）=lnx，则原不等式可化为lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即证 xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，
记F（x）=xlnx，则F'（x）=lnx+1，
当0＜x＜

1

e

时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x＞

1

e

时，F'（x）＞0，F（x）递增，
故当x=

1

e

时，F（x）取得极小值，也为最小值，其最小值为F(

1

e

)=-

1

e

．
记H(x)=

x

ex

-

2

e

，则H'（x）=

1-x

ex

，
当0＜x＜1时，H'（x）＞0，H（x）递增；当x＞1时，H'（x）＜0，H（x）递减；
故当x=1时，H（x）取得极大值，也为最大值，其最大值为H(1)=-

1

e

，
由函数F（x）的最小值与函数H（x）的最大值不能同时取到，
故x∈（0，+∞）时，F（x）＞H（x），故原不等式成立．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数最值加以解决．