Question

圆心在曲线y=-

3

x

（x＞0）上，且与直线3x-4y+3=0相切的面积最小的圆的方程是

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：三角函数的求值

分析：设曲线上一点坐标为（a，-

3

a

），a＞0，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值，以及此时a的值，确定出面积最小时圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可．

解答： 解：设曲线y=-

3

x

（x＞0）上一点坐标为（a，-

3

a

），a＞0，
∵（a，-

3

a

）到直线3x-4y+3=0的距离d=

3a+ 12 a +3

42+32

≥

15

5

=3，
当且仅当3a=

12

a

，即a=2时取等号，此时圆心坐标为（2，-

3

2

），半径r=3，
则所求圆的方程为（x-2）²+（y+

3

2

）²=9．
故答案为：（x-2）²+（y+

3

2

）²=9

点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．