Question

三棱柱ABC-A′B′C′中，若AA′⊥底面ABC，D是CC′的中点，AC=BC，AB=AA′，二面角D-AB-C的大小为60°．且点E在线段AB上，CE⊥BD，试证明
（1）BE=2EA；
（2）求二面角A′-BD-A的余弦值．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：首先，建立空间直角坐标系，然后，结合条件CE⊥BD求解．

解答： 证明：如下图所示：以边AB的中点O为坐标原点，以有向线段AB所在直线为x轴，
以有向线段OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图示：

设AB=2b，CA=CB=a，则
∠DOC=60°，
∴tan60°=

DC

OC

=

b

a2-b2

=

3

，
∴b=

3

2

a，
∴B（

3

2

a，0，0），D（0，

1

2

a，

3

2

a），C（0，

1

2

a，0），
设E（m，0，0），
∴

CE

=(m，-

1

2

a，0)，

BD

=(-

3

2

a，

1

2

a，

3

2

a)，
∵CE⊥BD，
∴

CE

•

BD

=0，
∴-

3

2

am-

1

4

a2=0，
∴m=-

3

6

a，
∵b=

3

2

a，
∴m=-

1

3

b，
∴BE=2EA．

点评：本题重点考查了棱柱的结构特征、空间中点线面的位置关系、二面角等知识，属于中档题．