题目内容

5．命题p：f（x）=ax-sin2x在R上单调递增；命题q：g（x）=x3-3x2+a只有唯一的零点．若命题p和命题q中有且只有一个为真，求a的范围．

分析 先分别求出命题p、q为真时a的取值范围，由命题p和命题q中有且只有一个为真列式计算即可．

解答 解：p真，f′（x）=a-2cosx≥0恒成立，则a≥2；…（3分）
q真，则g（x）满足极大值为负或极小值为正，又g′（x）=3x2-6x=0，得x=0或x=2
∴极大值g（0）=a＜0，极小值g（2）=a-4＞0，即a＜0或a＞4，…（7分）
∴当p真q假时：2≤a≤4，当p假q真时：a＜0，
故a的范围是：a＜0或2≤a≤4…（12分）

点评 本题考查了命题真假的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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15．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M（m，0）（m＞0）任作一条直线与曲线C交于A，B两点，点N（n，0），连接AN，BN，且m+n=0．求证：∠ANM=∠BNM．
16．设命题p：x≤$\frac{1}{2}$或x≥1，命题q：（x-a）（x-a-1）≤0，若p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
13．在区间[0，1]中随机取出两个数，则两数之和不小于$\frac{4}{5}$的概率是（　　）
A．$\frac{8}{25}$B．$\frac{9}{25}$C．$\frac{18}{25}$D．$\frac{17}{25}$
20．已知函数f（x）=lnx+k（x-1）2，k∈R与函数g（x）=x-1
（1）当k=$\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＞g（x）恒成立
（2）当f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立时，求实数k的取值范围．
10．①“?x∈R，x2-3x+3=0”的否定是真命题；
②“$-\frac{1}{2}＜x＜0$”是“2x2-5x-3＜0”必要不充分条件；
③“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是真命题；
④曲线$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$与曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}=1（9＜k＜25）$有相同的焦点；
⑤过点（1，3）且与抛物线y2=4x相切的直线有且只有一条．
其中是真命题的有：①③④（把你认为正确命题的序号都填上）
17．已知函数f（x）=（x-a）•（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=logax+b的图象为（　　）
A．B．C．D．
14．已知复数z=lgm+（lgn）i，其中i是虚数单位．若复数z在复平面内对应的点在直线y=-x上，则mn的值等于（　　）
A．0B．1C．10D．$\frac{1}{10}$
15．点M的直角坐标是（1，-$\sqrt{3}$），则点M的极坐标为（　　）
A．（2，$\frac{π}{3}$）B．（2，-$\frac{π}{3}$）C．（2，$\frac{2π}{3}$）D．（2，2kπ+$\frac{π}{3}$）（k∈Z）

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