题目内容
设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足
．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
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（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：（1）若a=1，且p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；
（2）根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论．
解答：
解：（1）由x2-4ax+3a2＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，
所以a＜x＜3a．
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2分）
由
，
得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．…（4分）
若p∧q为真，则p真且q真，…（5分）
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．…（7分）
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．
即q是p的充分不必要条件，
则
，解得1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2．…（14分）
所以a＜x＜3a．
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2分）
由
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得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．…（4分）
若p∧q为真，则p真且q真，…（5分）
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．…（7分）
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．
即q是p的充分不必要条件，
则
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所以实数a的取值范围是1＜a≤2．…（14分）
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及集合关系的判断．利用逆否命题的等价性是解决本题的关键．
练习册系列答案
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| ||
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