Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{x}$-lnx．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）证明：当x∈（0，1）时，x-1＜xlnx；
（3）设c∈（0，1），证明：当x∈（0，1）时，1+（c-1）x＞c^x．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数大于0，得到f（x）的递增区间；
（2）由（1）知，f（x）＜f（1）=0，即$\frac{x-1}{x}$-lnx＜0，即可证明；
（3）要证原式，即证：1+（c-1）x-c^x＞0，利用构造法进行证明．

解答 （1）解：定义域为（0，+∞）．f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
 由f′（x）＞0得x＜1，故递增区间为（0，1）；
（2）证明：由（1）知，f（x）＜f（1）=0，即$\frac{x-1}{x}$-lnx＜0，
∴x-1＜xlnx；
（3）要证原式，即证：1+（c-1）x-c^x＞0
令g（x）=1++（c-1）x-c^x，x∈（0，1），c∈（0，1），
则g′（x）=c-1-c^xlnc
令h（x）=c-1-c^xlnc，则h′（x）=-c^x（lnc）²，
故h（x）在（0，1）递减  
而h（0）=c-1-lnc
令p（x）=x-1-lnx，x∈（0，1），则p′（x）=$\frac{x-1}{x}$＜0
故p（x）在（0，1）递减，故p（x）＞p（1）=0，∴x-1-lnx＞0，
故h（0）＞0．
由（2）知h（1）=c-1-clnc＜0，
∴h（x）在（0，1）存在唯一零点x₀，
∴g（x）在（0，x₀）递增，（x₀，1）递减，而g（0）=g（1）=0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，故本题得证．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用构造法是关键．