Question

18．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD₁，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16π，求证：EF⊥平面EA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）连接BD₁，由EF为中位线，得EF∥D₁B，由此能证明EF∥平面ABC₁D₁．
（2）推导出四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半径R=2，求出AA₁=2$\sqrt{2}$，推导出EF⊥A₁E，A₁C₁⊥EF，由此能证明EF⊥平面EA₁C₁．

解答 证明：（1）连接BD₁，在△DD₁B中，E，F分别为线段DD₁，BD的中点，
∴EF为中位线，
∴EF∥D₁B，而D₁B?面ABC₁D₁，EF?面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为16π，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半径R=2，
设AA₁=a，则$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+4+4}$=2，解得a=2$\sqrt{2}$，
∵AB=2，∴EF²=4，${A}_{1}{E}^{2}$=6，${A}_{1}{F}^{2}$=10，
∴$E{F}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}$=${A}_{1}{F}^{2}$，即EF⊥A₁E，
∵A₁C₁⊥平面₁D₁D，∴A₁C₁⊥EF，
又A₁C₁∩A₁E=A₁，∴EF⊥平面EA₁C₁．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．