Question

8．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x²+x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程（用含b的方程表示）
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0及y=0，△＞0即可得出；
（2）设出圆的一般方程与（1）比较即可得出；
（3）把圆C的方程改写为x²+y²+x-y-b（y-1）=0，即可求出定点的坐标．

解答 解：（1）令x=0，得二次函数图象与y轴交点是（0，b）
因为二次函数二次项系数为1，由二次函数性质得二次函数f（x）=x²+x+b（x∈R）的图象必与x轴有两个交点．
令f（x）=x²+x+b=0，由题意b≠0 且△＞0，解得b＜$\frac{1}{4}$且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0得，x²+Dx+F=0，由题意可得，这与x²+x+b=0是同一个方程，故D=1，F=b．
令x=0得，y²+Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b且b≠0，代入得出E=-b-1，
所以圆C的一般方程为x²+y²+x-（b+1）y+b=0．．
（3）圆C：x²+y²+x-（b+1）y+b=0方程为x²+y²+x-y-b（y-1）=0
则圆C必过定点（0，1）和（-1，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边=0²+1²+0-（b+1）+b=0，右边=0，
所以圆C 必定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（-1，1）．

点评 本题主要考查求圆的方程，考查圆系知识，体现了转化的数学思想，属于中档题．