题目内容
15．已知函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，其图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且函数$f（x+\frac{π}{12}）$是偶函数，则下列判断正确的是（ ）| A． | 函数f（x）的最小正周期为2π | |
| B． | 函数f（x）在区间$[\frac{3π}{4}，π]$上单调递增 | |
| C． | 函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{7π}{12}$对称 | |
| D． | 函数f（x）的图象关于点$（\frac{7π}{12}，0）$对称 |
分析 根据图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，可得周期T，求解出ω，且函数$f（x+\frac{π}{12}）$是偶函数可得φ．从而可得解析式f（x）．依次判断各选项即可．
解答 解：函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，
∵图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，（A选项不对）
∴ω=$\frac{2π}{T}=2$．
f（x）=sin（2x+φ），
那么$f（x+\frac{π}{12}）$=sin（2x+$\frac{π}{6}+$φ）是偶函数，
可得$\frac{π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$
∴函数f（x）=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
对称轴方程2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
可得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$．（C选项不对）
对称中心横坐标：2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
可得x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{6}$．（D选项不对）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴B选项对．
故选B．
点评 本题主要考查对三角函数的计算能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题
练习册系列答案
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