Question

10．考察下列各式
2=2×1
3×4=4×1×3
4×5×6=8×1×3×5
5×6×7×8=16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？

Answer 1

分析 根据所给的等式归纳出左边、右边的规律，按照此规律猜想出一般性的结论，再利用数学归纳法进行证明即可．

解答 解：由题意得，2=2×1，3×4=4×1×3，4×5×6=8×1×3×5，
5×6×7×8=16×1×3×5×7，…
猜想：（n+1）（n+2）（n+3）…2n=2ⁿ×1×3×5…（2n-1），
下面利用数学归纳法进行证明，
证明：（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…2k=2^k×1×3×5…（2k-1），
那么当n=k+1时，（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…2（k+1）
=$（{k+1}）\frac{{（{k+1+1}）（{k+1+2}）（{k+1+3}）…2k（{2k+1}）2（{k+1}）}}{k+1}$
=$\frac{{{2^k}×1×3×5…（{2k-1}）（{2k+1}）2（{k+1}）}}{k+1}$
=2^k+1×1×3×5…[2（k+1）-1]
所以当n=k+1时等式成立．
根据（1）（2）可知对任意正整数等式均成立．

点评 本题考查了归纳推理，以及数学归纳法证明与正整数有关的结论，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．