Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=6，S₅=45；数列{b_n}前n项和为T_n，且T_n-2b_n+3=0．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}，n为奇数}\\{{a}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{c_n}的前n项和Q_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=6，S₅=45；利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=45}\end{array}\right.$，解得a₁=d即可得出．由T_n-2b_n+3=0．
n=1时，b₁-2b₁+3=0，解得b₁．n≥2时，T_n-1-2b_n-1+3=0，可得：b_n=2b_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}，n为奇数}\\{{a}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，可得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{n-1}，n为奇数}\\{3n，n为偶数}\end{array}\right.$．对n分类讨论，分组求和，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=6，S₅=45；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=45}\end{array}\right.$，解得a₁=d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵T_n-2b_n+3=0．
∴n=1时，b₁-2b₁+3=0，解得b₁=3．
n≥2时，T_n-1-2b_n-1+3=0，可得：b_n-2b_n+2b_n-1=0，化为b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为3，公比为2．
∴b_n=3×2^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}，n为奇数}\\{{a}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$，∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{n-1}，n为奇数}\\{3n，n为偶数}\end{array}\right.$．
∴n=2k（k∈N^*）为偶数时，数列{c_n}的前n项和Q_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=$\frac{3×（{4}^{\frac{n}{2}}-1）}{4-1}$+$\frac{\frac{n}{2}（6+3n）}{2}$=2ⁿ-1+$\frac{3}{4}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n．
n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，数列{c_n}的前n项和Q_n=Q_n+1-a_n+1=2ⁿ⁺¹-1$+\frac{3}{4}×（n+1）^{2}$+$\frac{3}{2}（n+1）$-3（n+1）=2ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}{n}^{2}$$-\frac{7}{4}$．
∴Q_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1+\frac{3}{4}{n}^{2}+\frac{3}{2}n，n为偶数}\\{{2}^{n+1}+\frac{3}{4}{n}^{2}-\frac{7}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．