题目内容
一元二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（-1）=0，求f（x）的解析式并写出单调区间．
考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：本题通过二次函数的顶点坐标，得到参数a，b的方程，从而求出a，b的值，得到函数的解析式，再利用图象特征，得到函数的单调区间．
解答：
解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（-1）=0，
∴
，
∴
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∴f（x）=x2+2x+1．
在区间（-∞，-1）单调递减，在区间[-1，+∞）单调递增．
∴f（x）的解析式为f（x）=x2+2x+1．单调减区间为（-∞，-1），单调增区间为[-1，+∞）．
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∴f（x）=x2+2x+1．
在区间（-∞，-1）单调递减，在区间[-1，+∞）单调递增．
∴f（x）的解析式为f（x）=x2+2x+1．单调减区间为（-∞，-1），单调增区间为[-1，+∞）．
点评：本题考查了二次函数的解析式和单调性，本题还可以用二次函数的顶点式去研究．本题难度不大，属于基础题．
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