Question

5．设点M（x₀，1），设在圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则实数x₀的取值范围为$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 易知M点在直线y=1上，若设圆x²+y²=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以只需∠OMT≥30°即可，借助于三角函数容易求出x₀的范围．

解答 解：易知M（x₀，1）在直线y=1上，设圆x²+y²=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，
所以要是圆上存在点N，使得∠OMN=30°，只需∠OMT≥30°，
因为T（0，1），所以只需在Rt△OMT中，tan∠OMT=$\frac{1}{|{x}_{0}|}$≥tan30°=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
当x₀=0时，显然满足题意，
故x₀∈$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$．
故答案为$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$．

点评 此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题，关键是弄清楚M点所在的位置，能够找到∠OMN与∠OMT的大小关系，从而构造出关于x₀的不等式．