Question

14．如果数列{a_n}的前n项之和为S_n=3+2ⁿ，那么a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{{4}^{n}+71}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出数列是前两项，然后判断所求数列的特征，利用求和公式转化求解前n项和即可．

解答 解：因为数列{a_n}的前n项之和为S_n=3+2ⁿ，a₁=5，a₂=2，
a_n=S_n-S_n-1，n≥2，又S_n=2ⁿ+3，
所以a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1所以，a_n²=4^n-1是从第二项起是等比数列；
设A_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²，
由等比数列前n项和a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=a₁²+$\frac{{{a}_{2}}^{2}（1-{q}^{n-1}）}{1-q}$，q=4．
解得a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=25+$\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{3}$=$\frac{{4}^{n}+71}{3}$．
故答案为：$\frac{{4}^{n}+71}{3}$．

点评 此题主要考查数列的求和问题，其中应用到由前n项和求数列通项和等比数列的前n项和公式，这些都需要理解并记忆．