Question

20．在直角坐标平面上，已知长轴为6的椭圆C与抛物线D有共同的焦点F₁（-2，0）．
（1）求椭圆C与抛物线D的标准方程；
（2）已知椭圆C与抛物线D相交于A、B两点，求△ABF₁的面积S${\;}_{△AB{F}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）直接由已知求出椭圆的长半轴和半焦距，结合隐含条件求出b，则椭圆方程可求，再由抛物线的焦点坐标直接求得抛物线方程；
（2）联立椭圆方程和抛物线方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）由题意知，椭圆C的长半轴a=3，c=2，
故b²=a²-c²=5，
故椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
抛物线的焦点F₁（-2，0），
故抛物线方程：y²=-8x； 
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-8x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得5x²-72x-45=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{2\sqrt{30}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{2\sqrt{30}}{5}}\end{array}\right.$．
即A（$-\frac{3}{5}，-\frac{2\sqrt{30}}{5}$），B（$-\frac{3}{5}，\frac{2\sqrt{30}}{5}$），
故S${\;}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×\frac{4\sqrt{30}}{5}=\frac{6\sqrt{30}}{25}$．

点评 本题考查椭圆与抛物线方程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了二元二次方程组的解法，是中档题．