Question

若函数f（x）=4x-

1

2

-a•2x+

27

2

在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，将函数转化为一元二次函数，即可得到结论．

解答： 解：∵f(x)=

1

2

•22x-a•2x+

27

2

，
令2^x=t，∵0≤x≤2，
∴1≤t≤4，
∴f(x)=g(t)=

1

2

t2-at+

27

2

=

1

2

(t-a)2+

27

2

-

a2

2

(1≤t≤4)，
∴抛物线g（t）的对称轴为t=a，
①当a＜

5

2

时，[f(x)]max=g(4)=

43

2

-4a=9⇒a=

43

8

＞

5

2

，不合；
②当a≥

5

2

时，[f（x）]_max=g（1）=14-a=9⇒a=5，适合；
综上，a=5

点评：本题主要考查指数函数的性质以及一元二次函数的应用，利用换元法是解决本题的关键．