Question

已知直线l垂直平面a，垂足为O，在矩形ABCD中AD=1，AB=2，若点A在l上移动，点B在平面a上移动，则O、D两点间的最大距离为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ABO=θ，D（x，y），D、O两点间的最大距离表示成2

2

sin（2θ-

π

4

）+3，最后结合三角函数的性质求出其最大值即可．

解答： 解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，AD=1，AB=2，
以O为原点，OA为y轴，OB为x轴建立直角坐标系，如图．
设∠ABO=θ，D（x，y），则有：
x=ADsinθ=sinθ，
y=ABsinθ+ADcosθ
=cosθ+2sinθ，
∴x²+y²=sin²θ+cos²θ+4sinθcosθ+4sin²θ．
=-2cos2θ+2sin2θ+3
=2

2

sin（2θ-

π

4

）+3，
当sin（2θ-

π

4

）=1时，x²+y²最大，为2

2

+3，
则D、O两点间的最大距离为1+

2

．
故答案为：1+

2

．

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值