Question

已知函数，，（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）极大值为0，无极小值;（2）;（3）不存在.

试题分析：（1）先求函数定义域，然后求导，判断单调性，根据单调性求极值；（2）因为函数在上单调递减，所以对恒成立，得到，下面只需求出
的最大值就行；（3）先假设存在，设出点得到，判断方程无根，所以不存在两点.
试题解析：（1）的定义域为                  1分
，                2分
故，单调递增；
，单调递减，       3分
时，取得极大值，无极小值。           4分
（2），，
若函数在上单调递减，
则对恒成立             5分
，只需      6分
时，，则，，   7分
故，的取值范围为             8分
（3）假设存在，不妨设，
         9分
                10分
由得，整理得   11分
令，， 12分，
∴在上单调递增，               13分
∴，故
∴不存在符合题意的两点。          14分.