Question

9．各项均不为零的数列{a_n}，首项a₁=1，且对于任意n∈N^*均有6a_n+1-a_n+1a_n-2a_n=0，b_n=$\frac{1}{a_n}$．
（1）求{b_n}的通项公式．
（2）若{b_n}的前n项和为T_n，求证：当n≥2时，$\frac{8}{3}（n+1）{T_n}$＞（n+1）C_n+1⁰2ⁿ+nC_n+1¹2^n-1+（n-1）C_n+1²2^n-2+…+（n+1-k）C_n+1^k2^n-k+…+C_n+1ⁿ2⁰．

Answer 1

分析 （1）各项均不为零的数列{a_n}，首项a₁=1，且对于任意n∈N^*均有6a_n+1-a_n+1a_n-2a_n=0，变形为$\frac{2}{{a}_{n+1}}=\frac{6}{{a}_{n}}-1$，即${b}_{n+1}=3{b}_{n}-\frac{1}{2}$，化为${b}_{n+1}-\frac{1}{4}$=3$（{b}_{n}-\frac{1}{4}）$，
再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式可得：T_n=$\frac{{3}^{n+1}+2n-3}{8}$．可得左边=$\frac{{3}^{n+1}+2n-3}{3}（n+1）$．考虑：$（n+1-k）C_{n+1}^k=（n+1-k）\frac{（n+1）!}{（n+1-k）!k!}=（n+1）\frac{n!}{k!（n-k）!}=（n+1）C_n^k$，可得右边=（n+1）3ⁿ．n≥2时．计算左边-右边＞0即可．

解答 （1）解：∵各项均不为零的数列{a_n}，首项a₁=1，且对于任意n∈N^*均有6a_n+1-a_n+1a_n-2a_n=0，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}=\frac{6}{{a}_{n}}-1$，∴${b}_{n+1}=3{b}_{n}-\frac{1}{2}$，
化为${b}_{n+1}-\frac{1}{4}$=3$（{b}_{n}-\frac{1}{4}）$，
∴数列$\{{b}_{n}-\frac{1}{4}\}$是等比数列，首项为$\frac{3}{4}$，公比为3．
∴${b}_{n}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}×{3}^{n-1}$，
∴${b_n}=\frac{{{3^n}+1}}{4}$．
（2）证明：T_n=$\frac{1}{4}×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}+\frac{n}{4}$=$\frac{{3}^{n+1}+2n-3}{8}$．
∴$\frac{8}{3}（n+1）{T_n}=\frac{{{3^{n+1}}+2n-3}}{3}（n+1）$．
考虑：$（n+1-k）C_{n+1}^k=（n+1-k）\frac{（n+1）!}{（n+1-k）!k!}=（n+1）\frac{n!}{k!（n-k）!}=（n+1）C_n^k$，
∴右边=$（n+1）（C_n^0{2^n}+C_n^1{2^{n-1}}+…C_n^n）=（n+1）{（2+1）^n}=（n+1）{3^n}$．
则n≥2时．左边-右边=$\frac{{{3^{n+1}}+2n-3}}{3}（n+1）-（n+1）{3^n}=\frac{（2n-3）（n+1）}{3}＞0$．
∴当n≥2时，$\frac{8}{3}（n+1）{T_n}$＞（n+1）C_n+1⁰2ⁿ+nC_n+1¹2^n-1+（n-1）C_n+1²2^n-2+…+（n+1-k）C_n+1^k2^n-k+…+C_n+1ⁿ2⁰．

点评 本题主要考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、组合数的计算公式、二项式定理的应用、不等式的证明方法等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．