Question

4．若曲线y=sinx，x∈（-π，π）在点P处的切线平行于曲线y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$在点Q处的切线，则PQ的斜率为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设出P和Q点的坐标，分别求出两个函数的导函数，利用余弦函数的值域及不等式求最值，得到两个导函数的取值范围，再由函数y=sinx（x∈（-π，π））图象在点P处的切线与函数y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$在点Q处的切线平行，得到P，Q点的横坐标，代入原函数求得P，Q的纵坐标，由两点求斜率得答案．

解答 解：设P（a，b），Q（m，n），
由y=sinx，得y′=cosx，
∵x∈（-π，π），
∴-1＜y′≤1．
由y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$，得y′=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）≥1．
∵函数y=sinx（x∈（-π，π））图象在点P处的切线
与函数y=$\sqrt{x}（\frac{x}{3}+1）$在点Q处的切线平行，
∴cosa=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{\sqrt{m}}$）=1．
∵a∈（-π，π），m＞0，
∴a=0，m=1，
∴b=sin0=0，n=$\sqrt{m}$（$\frac{m}{3}$+1）=$\frac{4}{3}$．
∴直线PQ的斜率为：$\frac{\frac{4}{3}-0}{1-0}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．