Question

18．已知点A，B分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，∠MCN=$\frac{2π}{3}$，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c
（1）若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值：
（2）若c=$\sqrt{3}$，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=c-4，b=c-2，由余弦定理cos∠MCN=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$可得c的方程，解方程验证即可；
（2）由题意可得周长y=2sinθ+2sin（$\frac{π}{3}$-θ）+$\sqrt{3}$=2sin（$\frac{π}{3}$+θ）+$\sqrt{3}$，由三角函数的最值可得．

解答 解：（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2
∴a=c-4，b=c-2，
在△ABC中，∵$∠MCN=\frac{2π}{3}∴cos∠MCN=-\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得cos∠MCN=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
代值并整理可得c²-9c+14=0，解得c=2或c=7，
∵a=c-4＞0，∴c＞4，∴c=7；
（2）由题意可得周长y=2sinθ+2sin（$\frac{π}{3}$-θ）+$\sqrt{3}$
=2sin（$\frac{π}{3}$+θ）+$\sqrt{3}$，
∴当$\frac{π}{3}$+θ=$\frac{π}{2}$即θ=$\frac{π}{6}$时，周长取最大值2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角函数的值域，属基础题．