Question

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是

1

3

，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．
（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）该学生考上大学的概率等于1减去该学生考不上大学的概率．考不上大学包括：①前4次测试只通过了一次，且第五次没有通过，②前4次都没有通过测试．
（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，求出ξ取每个值的概率，即得ξ的分布列，由分布列求变量数学期望
Eξ 的值．

解答：解：（Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为

.

A

，则P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

64

243

+

16

81

=

112

243

．
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．（6分）
（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
P(ξ=2)=(

1

3

)2=

1

9

，P(ξ=3)=

C

1 2

.

1

3

.

2

3

.

1

3

=

4

27

，
． P(ξ=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

．
由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，
当ξ=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过．
∴P(ξ=5) = 

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3=

32

81

．
故ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
Eξ	1 9	4 27	4 27	32 81

Eξ=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

27

+5×

32

81

=

114

27

=

264

81

． （12分）

点评：本题考查用间接解法求独立事件的概率（1减去其对立事件的概率），以及球离散型随机变量的分布列、数学期望的方法．