Question

5．设集合A={y|y=2^x+1，x＜1}，B={x|-1-a≤ax+1≤1+a}，若A∪B=B，
（1）求集合A；
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的图象与性质，化简集合A即可；
（2）化简集合B，根据集合的运算性质，把问题转化为讨论a的取值，解对应不等式的问题．

解答 解：（1）∵x＜1，∴0＜2^x＜2，
∴1＜2^x+1＜3，
故A={y|1＜y＜3}；（4分）
（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，
不等式-1-a≤ax+1≤1+a等价于-2-a≤ax≤a，（2分）
当a＜0时，$B=\{x|1≤x≤-\frac{2}{a}-1\}$，
∵A⊆B，∴-$\frac{2}{a}$-1≥3，解得-$\frac{1}{2}$≤a＜0；（2分）
当a＞0时，则$B=\{x|-\frac{2}{a}-1≤x≤1\}$，不满足A⊆B；（2分）
当a=0时，则B=R，满足A⊆B；
综上，a的取值范围是：$-\frac{1}{2}≤a≤0$．（2分）

点评 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，考查了分类讨论思想与转化法的应用问题，是综合性题目．