Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使方程f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）当a=1，b=-2时，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．
（3）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先利用信息要求解出结果．
（2）二次函数的轴固定区间不固定的讨论．
（3）恒成立问题的应用．

解答： 解：（1）由题意得：f（x）=x²-x-3 由于x₀是不动点
因此得：f(x0)=x02-x0-3=x0
即：x02-2x0-3=0
解得：x₀=-1或3
即3和-1是f（x）的不动点．
（2）①当t≤-

1

2

时，g（t）=t²+t-3
②当-

1

2

＜t＜

1

2

时，g（t）=-

13

4

③当t≥

1

2

时，g（t）=t²-t-3
（3）因为f（x）恒有两个不动点
f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x
即：ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根
即对于任意的实数都有△=b²-4a（b-1）＞0恒成立
进一步得：对任意的实数b，b²-4ab+4a＞0恒成立．
△1=(4a)2-4(4a)＜0
得到：a²-a＜0
0＜a＜1
故答案为：（1）3和-1是f（x）的不动点
（2））①当t≤-

1

2

时，g（t）=t²+t-3
②当-

1

2

＜t＜

1

2

时，g（t）=-

13

4

③当t≥

1

2

时，g（t）=t²-t-3
（3）0＜a＜1

点评：本题考查的知识点：信息抽象函数的应用，二次函数的轴固定区间不固定的讨论，恒成立问题的应用及一元二次不等式和一元二次方程的解法．