给出下列四个结论:(1)如果${(3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}})^n}$的展开式中各项系数之和为128.则展开式中$\frac{1}{x^3}$的系数是-21,(2)用相关指数r来刻画回归效果.r的值越大.说明模型的拟合效果越差,是R上的奇函数.且满足f的图象关于x=1对称,(4)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a.得2分的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．给出下列四个结论：
（1）如果${（3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}}）^n}$的展开式中各项系数之和为128，则展开式中$\frac{1}{x^3}$的系数是-21；
（2）用相关指数r来刻画回归效果，r的值越大，说明模型的拟合效果越差；
（3）若f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（x）的图象关于x=1对称；
（4）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，且a，b，c∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$的最小值为$\frac{16}{3}$；
其中正确结论的序号为（3）（4）．

分析（1）由${（3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}}）^n}$的展开式中各项系数之和为128可得（3-1）ⁿ=128⇒n=7，再利用T_r+1=${C}_{7}^{r}$•3^7-r•（-1）^r${x}^{7-\frac{5}{3}r}$，令7-$\frac{5}{3}r$=-3得：r=6，从而得展开式中$\frac{1}{x^3}$的系数；可判断（1）错误；
（2）由相关指数r的含有知，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好，可判断（2）错误；
（3）f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），利用-x替换x，可得f（2-x）=f（x），即f（x）的图象关于x=1对称，可判断（3）正确；
（4）由3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），可得$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$）•$\frac{1}{2}$（3a+2b），利用基本不等式可求得$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$=$\frac{1}{2}$（6+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{2}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+4）=$\frac{16}{3}$（当且仅当a=2b，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时取“=”），可判断（4）正确．

解答解：（1）∵${（3x-\frac{1}{{\root{3}{x^2}}}）^n}$的展开式中各项系数之和为128，∴（3-1）ⁿ=128=2⁷，∴n=7，
∴T_r+1=${C}_{7}^{r}$•3^7-r•（-1）^r${x}^{7-\frac{5}{3}r}$，令7-$\frac{5}{3}r$=-3得：r=6，
∴展开式中$\frac{1}{x^3}$的系数是${C}_{7}^{6}$•3^7-6•（-1）⁶=21≠-21，故（1）错误；
（2）用相关指数r来刻画回归效果，|r|的值越大，说明模型的拟合效果越好，故（2）错误；
（3）∵f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），
∴f（-x+2）=-f（-x）=f（x），
∴f（x）的图象关于x=1对称，故（3）正确；
（4）∵3a+2b+0•c=2，a，b，c∈（0，1），
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$）•$\frac{1}{2}$（3a+2b）=$\frac{1}{2}$（6+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{2}{3}$）≥$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{20}{3}$+4）=$\frac{16}{3}$（当且仅当a=2b，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时取“=”），故（4）正确．
其中正确结论的序号为：（3）（4）．
故答案为：（3）（4）．