Question

3．已知从A地到B地共有两条路径L₁和L₂，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L₁与L₂所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图（1）和图（2）．

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）用A_i表示事件“甲选择路径L_i时，40分钟内赶到B地”，B_i表示事件“乙选择路径L_i时，50分钟内赶到B地”，i=1，2．由频率分布直方图及频率估计概率求出P（A₁）＞P（A₂），从而甲应选择L₁，P（B₂）＞P（B₁），从而乙应选择L₂．
（2）用M，N分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互独立，由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）用A_i表示事件“甲选择路径L_i时，40分钟内赶到B地”，
B_i表示事件“乙选择路径L_i时，50分钟内赶到B地”，i=1，2．…（1分）
由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：
P（A₁）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，
P（A₂）=（0.01+0.04）×10=0.5．
∵P（A₁）＞P（A₂），故甲应选择L₁．…（3分）
P（B₁）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，
P（B₂）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．
∵P（B₂）＞P（B₁），故乙应选择L₂．…（5分）
（2）用M，N分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，
由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由题意知，M，N相互独立，…（7分）
∴P（X=0）=P（$\overline M\overline N$）=P（$\overline M$）P（$\overline N$）=0.4×0.1=0.04；
P（X=1）=P（$\overline M$N+M$\overline N$）=P（$\overline M$）P（N）+P（M）P（$\overline N$）
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；
P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．