Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（I）设

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），当a≠b且

m

∥

n

时，判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若4sin²

A+B

2

-cos2C=

7

2

_ ，且c=

7

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）由两向量的坐标及两向量平行时满足的条件列出关系式，整理后利用正弦定理化简求出A+B的度数，即可做出判断；
（Ⅱ）已知等式利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，利用余弦定理表示出cosC，把cosC与c的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答： 解：（I）∵

m

=（a，cosB），

n

=（b，cosA），且

m

∥

n

时，
∴bcosB=acosA，即2bcosB=2acosA，
利用正弦定理化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2A=sin2B，
∵0＜2A，2B＜2π，且a≠b，
∴2A+2B=π，即A+B=

π

2

，
则△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）已知等式整理得：2[1-cos（A+B）]-2cos²C+1=2（1+cosC）-2cos²C+1=

7

2

，
整理得：cos²C-cosC+

1

4

=0，即cosC=

1

2

，
由余弦定理得：cosC=

1

2

=

a2+b2-7

2ab

，
整理得：ab=a²+b²-7≥2ab-7，即ab≤7（当且仅当a=b=

7

时取等号），
∴S=

1

2

absinC≤

1

2

×7×

3

2

=

7 3

4

，
则S的最大值为

7 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．