Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）≤

1

2

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，当x=0时，f（0）=0，然后，设x＜0，则-x＞0，然后，借助于函数为奇函数，进行求解即可．
（2）根据（1）中函数的解析式，分当x＞0时，当x=0时和当x＜0时三种情况，讨论不等式f（x）≤

1

2

成立的x的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以，当x=0时，f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=2^-x+1，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-2^-x+1，
∴f(x)=

-2-x+1，(x＜0) 0，(x=0) 2x+1，(x＞0)

，
（2）当x＞0时，2^x+1＞2恒成立，不满足不等式f（x）≤

1

2

．
当x=0时，f（x）=0，满足不等式f（x）≤

1

2

．
当x＜0时，-2^-x+1＜-2恒成立，满足不等式f（x）≤

1

2

．
综上所述，不等式f（x）≤

1

2

的解集为：（-∞，0]

点评：本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点，涉及到指数的运算性质，属于中档题，难度中等．